Упруго-пластический изгиб консольной балки

Проблема представляет из себя консольную балку прямоугольного поперечного сечения, имеющую длину L и находящуюся под действием сосредоточенной силы P, приложенной на конце.

В конкретном рассмотренном случае длина балки составляет 2000 мм, ширина сечения 140 мм, а высота – 200 мм. Балка изготовлена и изотропного материала с модулем Юнга 210 ГПа, коэффициентом Пуассона 0.3 и пределом текучести 235 МПа.

Создание геометрической модели

Постройте первую кривую. На панели команд выберите Режим - Геометрия, Объект - Кривая, Действие - Создать. Из выпадающего списка выберите Линия и задайте необходимые параметры. Нажмите Применить

Построение сетки

Постройте сетку на модели. На панели команд выберите Режим - Сетка, Объект - На кривых, Действие - Построение сетки. Из выпадающего списка выберите Равномерно и задайте необходимые параметры. Нажмите Применить, Построить сетку.

Задание материала и свойств блока

Создайте материал. На панели команд выберите Режим - Материал, Объект - Управление материалами. В открывшемся виджете Управление материалами в средней колонке укажите имя материала. В колонке свойств откройте список Упругость и перетащите название Изотропный материал в колонку Свойства материала. Затем в левой колонке перейдите в раздел Пластичность и перетащите По Мизесу. Задайте необходимые значения.

Нажмите Применить и закройте окно Управление материалов.

Создайте блок. На панели команд выберите Режим - Блоки, Объект - Блок, Действие - Добавить сущность в блок. Задайте необходимые параметры. Нажмите Применить.

Задайте свойства блоку. На панели команд выберите Режим - Блоки, Объект - Блок, Действие - Свойства/параметры блока. Задайте ID блока и выберите из выпадающих списков: Балка, Al. Затем необходимо задать свойства балке, для этого нажмите на кнопку . Введите необходимые параметры. Нажмите Применить.

Закройте окно Задать свойства балки.

Чтобы результат был точнее необходимо улучшить качество сетки сечения, для этого в командную строку введите:modify beam properties 1 mesh_quality 10.

Далее на панели инструментов нажмите Применить.

Задание граничных условий

Жестко закрепите вершину в перемещениях. На панели команд выберите Режим - Граничные условия, Объект - Перемещение, Действие - Создать. Из списка сущностей выберете Вершина. Укажите необходимые параметры и нажмите Применить.

Приложите точечную силу. На панели команд выберите Режим - Граничные условия, Объект - Точечная сила, Действие - Создать. Из выпадающего списка выберите Вершина, укажите тип силы Точечная. Задайте необходимые параметры и нажмите Применить.

Для запуска на расчет в CAE Fidesys выберите на панели команд Режим - Настройки расчета, Настройки расчета - Статический, Статический - Общие. Задайте требуемые параметры и нажмите Применить.

Задайте дополнительные настройки расчета. На панели команд выберите Режим - Настройки расчета, Настройки расчета - Статический, Статический - Поля вывода. Задайте требуемые параметры и нажмите Применить.

Задайте параметры решателя. На панели команд выберите Режим - Настройки расчета, Настройки расчета - Статический, Статический - Решатель. Выберите тип решателя (прямой или итерационный) и задайте параметры сходимости в случае выбора последнего. Либо оставьте все параметры по умолчанию. Нажмите Применить, Начать расчет.

Анализ результатов

Откройте файл с результатами. Это можно сделать тремя способами:

• Нажмите Ctrl+E;

• В главном меню выберите Расчёт - Открыть результат;

• На панели команд выберите Результаты (Режим - Результаты, Результаты - Открыть Результат).

Появится окно FidesysViewer, в котором вы сможете ознакомиться с результатами расчёта.

Выберите данные результата расчета для отображения. Из первого выпадающего списка выберите Перемещения, из второго - Y. В результате на модели отобразится распределение перемещений по Y.

Отобразите 3D вид модели. Для этого на панели инструментов нажмите Открыть 3D. В результате отобразится 3D вид модели.

Далее выберите данные результата расчета для отображения. Из первого выпадающего списка выберите Напряжения, из второго - Мизес. В результате на модели отобразится распределение напряжений по Мизесу.

Сравнение с аналитическим решением

На графике показана динамика несущей способности балки под действием точечной нагрузки. Кривая «сила-перемещение» показывает, что стандартные двух узловые балочные элементы показывают хорошую предсказательную способность при моделировании и полученные на них результаты согласуются с аналитическим решением приведенным в таблице.

Максимальный прогиб находится из выражения, которое было получено В. Кшишем и М. Жичковским [1]:

$$\delta_{\text{max}}(P) = \begin{cases} \displaystyle \frac{PL^3}{3EI}, & \text{если } 0\leqslant \displaystyle \frac{P}{P_{\gamma}}\leqslant 1 \\ \displaystyle \frac{20b^2h^3\sigma^3_Y}{27EP^2}-\frac{2\sqrt{3}bhL\sigma^2_Y}{3EP}\left(1-\frac{PL}{bh^2\sigma_Y}\right)^{\frac{1}{2}}-\frac{4\sqrt{3}b^2h^3\sigma^3_Y}{9EP^2}\left(1-\frac{PL}{bh^2\sigma_Y}\right)^{\frac{3}{2}}, & \text{если } 1\leqslant \displaystyle \frac{P}{P_{\gamma}}\leqslant \frac{3}{2} \end{cases}$$

где $P_Y$ - сила, при которой мы выходим на площадку текучести. ​

Предельная нагрузка

Задавая нагрузку выше предельной, мы ожидаем, что расчет разойдется. Пусть P = 165 кН. ​

Ожидаемо наш расчет разошелся, произошло это при нагрузке порядка P = 164.957 кН. Это лишь на 0.3% больше предельной нагрузки, полученной аналитически.

Список литературы

1. Krzyś, W., Życzkowski, M 1962. Sprężystość i plastyczność. Wybór zadań i przykładów, Warszawa: PWN, p. 420

Использование консольного интерфейса

Построение геометрии, генерацию сетки, задание граничных условий и материалов можно выполнить с использованием консольного интерфейса. Ниже приведён код программы, позволяющий выполнить шаги описанного выше руководства, необходимо только самостоятельно указать полный путь и название сохраняемого файла.

reset
create curve location 0 0 0 location 2000 0 0  
curve all size 10 
curve all scheme equal 
mesh curve all 
create material 1 
modify material 1 name 'A1' 
modify material 1 set property 'POISSON' value 0.3 
modify material 1 set property 'MODULUS' value 210000 
modify material 1 set property 'MISES_YIELD_STRENGTH' value 235 
set duplicate block elements off 
block 1 add curve all 
block 1 name 'EALL' 
create beam properties 1 
modify beam properties 1 type 'Rectangle' 
modify beam properties 1 offsetType 'Centroid' 
modify beam properties 1 angle 0.0 
modify beam properties 1 ey 0.0 
modify beam properties 1 ez 0.0 
modify beam properties 1 geom_B 200 
modify beam properties 1 geom_H 140 
modify beam properties 1 mesh_quality 10
modify beam properties 1 warping_dof off 
block 1 material 1 cs 1 category beam order 1 
block 1 beam properties 1 
create displacement name 'FIX' on vertex 1  
modify displacement 1 dof all value 0 
create force name 'LOAD' on vertex 2 type nodal 
modify force 1 dof 2 value -164500 
analysis type static elasticity plasticity dim3 
static steps 1 
nonlinearopts maxiters 100 startloadsteps 50 minloadsteps 50 maxloadsteps 100000 tolerance 1e-3 targetiter 5 
static results everysubstep 1 
output nodalforce on energy off midresults on record3d on material off without_smoothing off fullperiodic off 
solver method direct use_uzawa auto try_other off